Question

已知在平面直角系xOy中，三角形ABC是边长为a的等边三角形，并且边B点始终在y轴上，点C终在x轴上，则OA的最大值是

 

．

Answer 1

考点：直角三角形斜边上的中线,等边三角形的性质

专题：

分析：取BC的中点D，连接OD、AD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OD的长度，再根据等边三角形的性质可以求出AD的长度，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得点O、D、A三点共线时，OA的长度最大，然后计算即可得解．

解答：解：如图，取BC的中点D，连接OD、AD，
则OD=

1

2

BC=

1

2

a，
AD=

3

2

a，
在△OAD中，OD+AD＞OA，
所以，当点O、D、A三点共线时，OA的长度最大，
最大值为

1

2

a+

3

2

a=

3 +1

2

a．
故答案为：

3 +1

2

a．

点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的性质，以及三角形的三边关系，作出辅助线构造出三角形是解题的关键．