Question

3．已知：四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180°，点E是边BC延长线上一点，且∠CDE=∠ABD，连接AE交边CD于点F．
（1）如图1，求证：∠CBD=∠AED+∠DAE；
（2）如图2，过点F作FM∥BC交AB于点M，交BD于点N，若CD=$\frac{4}{5}$DE，试探究线段AM和BN之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）如图1，要证∠CBD=∠AED+∠DAE，只需证∠CBD+∠ADE=180°，由于∠CDE=∠ABD，只需证∠ABC+∠ADC=180°，由于四边形ABCD的内角和等于360°，只需证到∠BAD+∠BCD=180°即可；
（2）连接AC，如图2，由∠BAD+∠BCD=180°可得A、B、C、D四点共圆，根据圆周角定理可得∠ABD=∠ACD，从而可证到AC∥DE，即可得到△ACF∽△EDF，则有$\frac{AF}{EF}$=$\frac{CF}{DF}$．然后根据平行线分线段成比例可得到$\frac{AM}{BM}$=$\frac{AF}{EF}$，$\frac{BN}{DN}$=$\frac{CF}{DF}$，由此可推出$\frac{AM}{BN}$=$\frac{AB}{BD}$．易证△ABD∽△CDE，则有$\frac{AB}{BD}$=$\frac{CD}{DE}$=$\frac{4}{5}$，故$\frac{AM}{BN}$=$\frac{4}{5}$．

解答 解：（1）证明：∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠CBA+∠ADC=360°-180°=180°，
∴∠CBD+∠ABD+∠ADC=180°．
∵∠CDE=∠ABD，
∴∠CBD+∠CDE+∠ADC=180°，
∴∠CBD+∠ADE=180°．
∵∠AED+∠DAE+∠ADE=180°．
∴∠CBD=∠AED+∠DAE；

（2）$\frac{AM}{BN}$=$\frac{4}{5}$．
证明：连接AC，如图2．
∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠ABD=∠ACD．
∵∠CDE=∠ABD，
∴∠CDE=∠ACD，
∴AC∥DE，
∴△ACF∽△EDF，
∴$\frac{AF}{EF}$=$\frac{CF}{DF}$．
∵FM∥BC，
∴根据平行线分线段成比例得：
$\frac{AM}{BM}$=$\frac{AF}{EF}$，$\frac{BN}{DN}$=$\frac{CF}{DF}$，
∴$\frac{AM}{BM}$=$\frac{BN}{DN}$，
∴$\frac{AM}{AB}$=$\frac{BN}{BD}$即$\frac{AM}{BN}$=$\frac{AB}{BD}$．
∵∠BAD+∠BCD=180°，∠DCE+∠BCD=180°，
∴∠BAD=∠DCE．
∵∠ABD=∠CDE，
∴△ABD∽△CDE，
∴$\frac{AB}{BD}$=$\frac{CD}{DE}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{AM}{BN}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、四点共圆的判定、圆周角定理、平行线分线段成比例、等式的恒等变形、三角形内角和定理、四边形的内角和定理等知识，有一定的难度，证到AC∥DE并运用平行线分线段成比例是解决第（2）小题的关键．