Question

3．如图①，在△ABC中，AC=BC，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，过点B作BG∥AC交DE的延长线于点G．
（1）求证：DB=BG；
（2）当∠ACB=90°时，如图②，连接AD、CG，求证：AD⊥CG．

Answer 1

分析 （1）由条件证明△DBE≌△GBE即可；
（2）由条件可证明△ACD≌△CBG，再利用角的和差可证得结论．

解答 证明：
（1）∵AC=BC，
∴∠A=∠CBA，
∵AC∥BG，
∴∠A=∠GBA，即∠CBA=∠GBA，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=∠GEB，
在△DBE和△GBE中
$\left\{{\begin{array}{l}{∠CBA=∠GBA}\\{EB=EB}\\{∠DEB=GEB}\end{array}}\right.$
∴△DBE≌△GBE（ASA），
∴DB=BG；

（2）∵点D为BC的中点，
∴CD=DB，
∵DB=BG，
∴CD=BG，
∵AC∥BG，
∴∠ACB+∠GBC=180°，
∵∠ACB=90°，
∴∠GBC=∠ACB=90°，
在△ACD和△CBG中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACB=∠GBC=90°}\\{CD=GB}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△CBG（SAS），
∴∠CAD=∠BCG，
∵∠ACG+∠BCG=90°，
∴∠ACG+∠CAD=90°，
即 AD⊥CG．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）．