Question

10．点M、N分别在正方形ABCD的边CD、BC上，已知△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半，求∠MAN的度数．

Answer 1

分析 先利用△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半可得到MN=DM+BN，△ADM绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，如图，利用旋转的性质得AE=AM，BE=DM，∠ABE=∠ADM，∠MAE=90°，接着证明△AMN≌△AEN得到∠MAN=∠EAN，从而得到∠MAN=$\frac{1}{2}$∠MAE=45°．

解答 解：∵△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半，
∴MN+CM+CN=CD+CB，
∴MN=DM+BN，
∵AD=AB，∠DAB=90°，
∴△ADM绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，如图，
∴AE=AM，BE=DM，∠ABE=∠ADM，∠MAE=90°，
∵∠ABC=90°，
∴点E在CB的延长线上，
∴EN=BE+NB=DM+BN=MN，
在△AMN和△AEN中
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AE}\\{AN=AN}\\{MN=EN}\end{array}\right.$，
∴△AMN≌△AEN，
∴∠MAN=∠EAN，
∴∠MAN=$\frac{1}{2}$∠MAE=45°．

点评 本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．解决本题的关键是构建△AEN与△AMN全等．