Question

5．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，O为BC的中点，OE平分∠AOB，与AB相交于点E，OD平分∠AOC，与AC相交于点D．
求证：四边形ADOE为矩形，并求四边形ADOE的周长．

Answer 1

分析 由直角三角形斜边上的中线性质得出OA=$\frac{1}{2}$BC=OB=OC，由等腰三角形的性质得出OE⊥AB，AE=BE，AD=CD，OD⊥AC，证出四边形ADOE为矩形，得出AE=OD，AD=OE，求出OD=AE=$\frac{1}{2}$AB=4，OE=AD=$\frac{1}{2}$AC=3，即可得出四边形ADOE的周长．

解答 解：∵∠BAC=90°，O为BC的中点，
∴OA=$\frac{1}{2}$BC=OB=OC，
∵OE平分∠AOB，OD平分∠AOC，
∴OE⊥AB，AE=BE，AD=CD，OD⊥AC，
∴∠AEO=∠ADO=90°，
∴四边形ADOE为矩形，
∴AE=OD，AD=OE，
∵AB=8，AC=6，
∴OD=AE=$\frac{1}{2}$AB=4，OE=AD=$\frac{1}{2}$AC=3，
∴四边形ADOE的周长=2（AD+AE）=2（3+4）=14．

点评 本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质；熟练掌握矩形的判定与性质，由等腰三角形的三线合一性质得出OE⊥AB，AE=BE，AD=CD，OD⊥AC是解决问题的关键．