Question

9．化简并求值：$\frac{1}{a}$+$\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}+{a}^{2}-2}$，其中a=$\frac{1}{5}$，一位同学的解答如下：
$\frac{1}{a}$+$\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}+{a}^{2}-2}$
=$\frac{1}{a}$+$\sqrt{（a-\frac{1}{a}）^{2}}$①
=$\frac{1}{a}$+a-$\frac{1}{a}$②
=a③
把a=$\frac{1}{5}$代入上式得：
原式=$\frac{1}{5}$④
（1）上述解题过程中，从哪一步开始出错？请填写处该步的代号：②．
（2）请写出错误的原因a-$\frac{1}{a}$＜0．
（3）写出本题的正确解答过程．

Answer 1

分析 （1）根据二次根式的性质3可知第②开始出错；
（2）依据性质3知，a=$\frac{1}{5}$时a-$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{5}-5$＜0，故$\sqrt{（a-\frac{1}{a}）^{2}}$=|a-$\frac{1}{a}$|；
（3）根据二次根式的性质先化简，再求值可得．

解答 解：（1）上述解题过程中，从第②开始出错，
故答案为：②；

（2）∵a=$\frac{1}{5}$时，a-$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{5}-5$＜0，
故答案为：a-$\frac{1}{a}$＜0；

（3）原式=$\frac{1}{a}$+$\sqrt{（a-\frac{1}{a}）^{2}}$
=$\frac{1}{a}$+|a-$\frac{1}{a}$|，
∵a=$\frac{1}{5}$时，a-$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{5}-5$＜0，
∴原式=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{a}$-a
=$\frac{2}{a}$-a，
当a=$\frac{1}{5}$时，
原式=10-$\frac{1}{5}$=$\frac{49}{5}$．

点评 本题主要考查二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质3是解题的关键．