Question

20．（1）研究：如图1，已知△BCD是等腰三角形，BA是CD边上的高，垂足为A，CF是底边DB的高交BA于点F．若BA=AC，求证：△AFC≌△ADB；
（2）拓展：在图2、图3中，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，点D在线段BC上（不含点B），∠BDF=$\frac{1}{2}$∠BCA，且DF交AB于点F，BE⊥DF，垂足为点E．
①如图2，当点D与点C重合，试写出BE与DF的数量关系；
②如图3，当点D在线段BC上（不含点B、C）时，①中的结论成立吗？如果成立，请证明它；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1，根据同角的余角相等证明∠DBA=∠DCF，利用ASA证明△AFC≌△ADB；
（2）①如图2，BE=$\frac{1}{2}$DF，作辅助线，构建全等三角形，证明△AGB≌△AFC，则BG=CF，再证明△CGE≌△CBE，可得结论；
 ②结论仍然成立，过点D做DP∥AC，交AB于点Q，交BE延长线于点P，证明△BQP≌△DQF，得BP=DF，再由等腰三角形三线合一的性质得：BE=$\frac{1}{2}$BP，即BE=$\frac{1}{2}$DF．

解答 证明：（1）如图1，∵BA⊥DC，
∴∠FAC=∠BAD=90°，
∴在Rt△ABD中，
∠D+∠DBA=90°，
同理∠D+∠DCF=90°，
∴∠DBA=∠DCF，
∵AB=AC，
∴△AFC≌△ADB（ASA）；            
（2）①解：BE=$\frac{1}{2}$DF，理由是：
 如图2，延长BE、DA交于G，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠BAG=90°，
∴∠G+∠GBA=90°，
∵CE⊥BG，
∴∠CEG=90°，
∴∠G+∠ACF=90°，
∴∠GBA=∠ACF，
∵AB=AC，
∴△AGB≌△AFD，
∴BG=DF，
∵∠BEC=∠GEC=90°，
∠BCF=∠ACF，CE=CE，
∴△CGE≌△CBE，
∴BE=EG，
∴BE=$\frac{1}{2}$BG，
∴BE=$\frac{1}{2}$DF；              
②成立，
证明：过点D做DP∥AC，交AB于点Q，交BE延长线于点P，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，∠BAC=90°，
∵DP∥AC，
∴∠ACB=∠PDB=45°，
∠BQD=90°，
∴△QBD为等腰直角三角形，
即QB=QD，
∵∠BDE=$\frac{1}{2}$∠BCA=22.5°，
∴∠FDQ=22.5°，
∵BE⊥DF，
∴∠EBD=90°-22.5°=67.5°，
∠EPD=90°-22.5°=67.5°，
∴∠EBF=∠EBD-45°=22.5°，
在△BQP与△DQF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BQP=∠DQF}\\{BQ=QD}\\{∠PBQ=∠FDQ}\end{array}\right.$，
∴△BQP≌△DQF（ASA），
∴BP=DF，
在△BDP中，
∵∠EPD=∠EBD，
∴△BDP是等腰三角形，
∵BE⊥DF，
∴BE=$\frac{1}{2}$BP，
即BE=$\frac{1}{2}$DF．

点评 本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质和判定，运用了类比的思想，作辅助线构建全等三角形是本题的关键，难度适中．