Question

14．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，延长DC到E，使得CE=CD，连接AE交BC于F，下面有三个结论：①AF=FE，②BF-FC=BC-CD，③AE＞BC，其中正确的个数有2个．

Answer 1

分析 ①根据平行线分线段成比例定理直接得出；
②作腰的平行线，证明△AGF≌△ECF，得FG=FC，则BF-FC=BC-CG，而且CG和CD不一定相等，所以结论不正确；
③作辅助线，构建?ABCM，证明△AEM是直角三角形，根据垂线段最短得AE＞AM，则AE＞BC，结论正确．

解答 解：①如图1，∵AD∥BC，
∴$\frac{EC}{DC}=\frac{EF}{AF}$，
∵DC=EC，
∴AF=FE；
所以此选项正确；
②如图2，过A作AG∥CD，交BC于G，
∴∠AGF=∠FCE，
∵AF=EF，∠AFG=∠EFC，
∴△AGF≌△ECF，
∴FG=FC，
∴BF-FC=BF-FG=BG，
∵BG=BC-CG，
∴BF-FC=BC-CG，
只有当CG=CD时，BF-FC=BC-CD成立，
∵CG与CD不一定相等，
所以此选项不正确；
③如图3，延长AD至M，使AM=BC，连接CM、EM，
∵AM∥BC，
∴四边形ABCM是平行四边形，
∴CM=AB，
∴DC=CM=CE，
∴∠CDM=∠CMD，∠CME=∠CEM，
∴∠CDM+∠CEM=∠CMD+∠CME=90°，
∴△AEM是直角三角形，
∴AE＞AM，
∴AE＞BC，
所以此选项正确，
故本题正确的结论有2个，
故答案为：2．

点评 本题考查了直角梯形的性质和全等三角形的性质与判定，在梯形的问题中，常常需要辅助线的帮助解决问题，一般辅助线的作法是：①作高，②作对角线的平行线，③作腰的平行线等，通过辅助线构建平行四边形或全等三角形；本题的第③问有难度，比较两线段的大小，一般情况下，可以利用第三边转化，或利用辅助线将要比较大小的边放在同一三角形中来解决，本题就是利用了后一种方法．