Question

如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，作∠BAD和∠BCD的平分线，分别交BD于点G、H，延长AG交BC于点E，延长CH交AD于点F．
（1）求证：△ABG≌△CDH；
（2）若∠BAE=2∠EAC，试判断四边形AECF是怎样的特殊四边形，并加以证明．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由在?ABCD中，可得AB∥CD，AB=CD，∠BAD=∠BCD，又由对角线AC、BD相交于点O，作∠BAD和∠BCD的平分线，分别交BD于点G、H，延长AG交BC于点E，延长CH交AD于点F，可得∠BAG=∠DCH，则可证得：△ABG≌△CDH；
（2）易证得△ABE≌△CDF（ASA），继而可得四边形AECF是平行四边形，然后由∠BAE=2∠EAC，可得∠EAC=∠CAF，继而证得AE=CE，则可得四边形AECF是菱形．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，∠BAD=∠BCD，
∴∠ABG=∠CDH，
∵AG，CH分别是∠BAD和∠BCD的平分线，
∴∠BAG=

1

2

∠BAD，∠DCH=

1

2

∠BCD，
∴∠BAG=∠DCH，
在△ABG和△CDH中，

∠BAG=∠DCH AB=CD ∠ABG=∠CDH

，
∴△ABG≌△CDH（ASA）；

（2）四边形AECF是菱形．
理由：∵AG平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵∠BAE=2∠EAC，
∴∠DAE=2∠EAC，
∴∠EAC=∠FAC，
在△ABE和△CDF中，

∠BAG=∠DCF AB=CD ∠ABE=∠CDF

，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE=DF，
∵?ABCD中，AD∥BC，AD=BC，
∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴∠ACE=∠CAF，
∴∠ACE=∠CAE，
∴AE=EC，
∴四边形AECF是菱形．

点评：此题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．