Question

如图，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．
操作发现：如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，
（1）猜想线段DE与AC的位置关系是

 

，并加以证明．
（2）设△BDC的面积为S₁，△AEC的面积为S₂，则S₁与S₂的数量关系是

 

，并加以证明．

Answer 1

考点：旋转的性质,三角形的面积,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答；
（2）根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=

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AB，然后求出AC=BD，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答即可．

解答：解：（1）DE∥AC（或填平行） ）；
理由如下：∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，
∴AC=CD，
∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
又∵∠CDE=∠BAC=60°，
∴∠ACD=∠CDE，
∴DE∥AC；
（2）∵∠B=30°，∠C=90°，
∴CD=AC=

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AB，
∴BD=AD=AC，
根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S₁=S₂；
故答案为：DE∥AC；S₁=S₂．

点评：本题考查了旋转的性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等以及旋转的性质是解题的关键．