Question

19．（1）如图1，∠B=∠D=90°，E是BD的中点，AE平分∠BAC，求证：CE平分∠ACD．
（2）如图2，AM∥CN，∠BAC和∠ACD的平分线并于点E，过点E作BD⊥AM，分别交AM、CN于B、D，请猜想AB、CD、AC三者之间的数量关系，请直接写出结论，不要求证明．
（3）如图3，AM∥CN，∠BAC和∠ACD的平分线交于点E，过点E作不垂直于AM的线段BD，分别交AM、CN于B、D点，且B、D两点都在AC的同侧，（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点E作EF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OB=OE，从而求出OE=OD，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明；
（2）如图2，过E作EF⊥AC于F，根据平行线的性质得到BD⊥CD，由角平分线的性质得到BE=EF，证得Rt△AEF≌Rt△ABE，根据全等三角形到现在得到AF=AB，同理CF=CD，等量代换得到结论；
（3）成立，如图3，在AC上截取AF=AB，根据角平分线的定义得到∠BAE=∠FAE，推出△ABE≌△AFE，根据全等三角形的性质得到∠AFE=∠ABE，根据角平行线的性质得到∠ABE+∠CDE=180°，求得∠CFE=∠CDE，证得△CEF≌△CDE，根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，过E作EF⊥AC于F，
∵∠B=90°，AE平分∠BAC，
∴EF=BE，
∵E是BD的中点，
∴BE=DE，
∴EF=DE，
∵∠D=90°，
∴CE平分∠ACD；

（2）如图2，过E作EF⊥AC于F，
∵AM∥CN，BD⊥AM，
∴BD⊥CD，
∵AE平分∠BAC，
∴BE=EF，
在Rt△AEF与Rt△ABE中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=EF}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEF≌Rt△ABE，
∴AF=AB，
同理CF=CD，
∵AC=AF+CF，
∴AC=AB+CD；

（3）成立，如图3，在AC上截取AF=AB，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠FAE，
在△ABE与△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AF}\\{∠BAE=∠FAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△AFE，
∴∠AFE=∠ABE，
∵AM∥CN，
∴∠ABE+∠CDE=180°，
∵∠AFE+∠EFC=180°，
∴∠CFE=∠CDE，
∵CE平分∠ACD，
∴∠FCE=∠DCE，
在△CEF与△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CFE=∠CDE}\\{∠FCE=∠DCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△CEF≌△CDE，
∴CF=CD，
∵AC=AF+CF，
∴AC=AB+CD．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．