题目内容

2．已知关于x的一元二次方程x2-（m+1）x+$\frac{1}{2}$（m2+1）=0有实数根．
（1）求m的值；
（2）先作y=x2-（m+1）x+$\frac{1}{2}$（m2+1）的图象关于x轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，当直线y=2x+n（n≥m）与变化后的图象有公共点时，求n2-4n的最大值和最小值．

分析 （1）由题意△≥0，列出不等式，解不等式即可；
（2）画出翻折．平移后的图象，根据顶点坐标即可写出函数的解析式；
（3）首先确定n的取值范围，利用二次函数的性质即可解决问题；

解答 解：（1）对于一元二次方程x2-（m+1）x+$\frac{1}{2}$（m2+1）=0，
△=（m+1）2-2（m2+1）=-m2+2m-1=-（m-1）2，
∵方程有实数根，
∴-（m-1）2≥0，
∴m=1．

（2）由（1）可知y=x2-2x+1=（x-1）2，
图象如图所示：

平移后的解析式为y=-（x+2）2+2=-x2-4x-2．

（3）由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+n}\\{y=-{x}^{2}-4x-2}\end{array}\right.$消去y得到x2+6x+n+2=0，
由题意△≥0，
∴36-4n-8≥0，
∴n≤7，
∵n≥m，m=1，
∴1≤n≤7，
令y′=n2-4n=（n-2）2-4，
∴n=2时，y′的值最小，最小值为-4，
n=7时，y′的值最大，最大值为21，
∴n2-4n的最大值为21，最小值为-4．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、待定系数法、翻折变换、平移变换、二次函数的最值问题等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．

练习册系列答案
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（2）若小张同时购买两种不同的图书10本，用去18元，请你设计他的购书方案；
（3）若小张同时购进A，B，C三种不同图书10本，用去18元，请你设计他的购买方案．
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