Question

如图，OABC是平行四边形，对角线OB在轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y=

k1

x

和y=

k2

x

的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下的结论：
①

AM

CN

=

|k1|

|k2|

；
②阴影部分面积是

1

2

（k₁+k₂）；
③当∠AOC=90°时，|k₁|=|k₂|；
④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．
其中正确的结论是

 

（把所有正确的结论的序号都填上）．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：代数几何综合题

分析：作AE⊥y轴于点E，CF⊥y轴于点F，根据平行四边形的性质得S_△AOB=S_△COB，利用三角形面积公式得到AE=CF，则有OM=ON，再利用反比例函数k的几何意义和三角形面积公式得到S_△AOM=

1

2

|k₁|=

1

2

OM•AM，S_△CON=

1

2

|k₂|=

1

2

ON•CN，所以有

AM

CN

=

|k1|

|k2|

；由S_△AOM=

1

2

|k₁|，S_△CON=

1

2

|k₂|，得到S_阴影部分=S_△AOM+S_△CON=

1

2

（|k₁|+|k₂|）=

1

2

（k₁-k₂）；当∠AOC=90°，得到四边形OABC是矩形，由于不能确定OA与OC相等，则不能判断△AOM≌△CNO，所以不能判断AM=CN，则不能确定|k₁|=|k₂|；若OABC是菱形，根据菱形的性质得OA=OC，可判断Rt△AOM≌Rt△CNO，则AM=CN，所以|k₁|=|k₂|，即k₁=-k₂，根据反比例函数的性质得两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．

解答：解：作AE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F，如图，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴S_△AOB=S_△COB，
∴AE=CF，
∴OM=ON，
∵S_△AOM=

1

2

|k₁|=

1

2

OM•AM，S_△CON=

1

2

|k₂|=

1

2

ON•CN，
∴

AM

CN

=

|k1|

|k2|

，故①正确；
∵S_△AOM=

1

2

|k₁|，S_△CON=

1

2

|k₂|，
∴S_阴影部分=S_△AOM+S_△CON=

1

2

（|k₁|+|k₂|），
而k₁＞0，k₂＜0，
∴S_阴影部分=

1

2

（k₁-k₂），故②错误；
当∠AOC=90°，
∴四边形OABC是矩形，
∴不能确定OA与OC相等，
而OM=ON，
∴不能判断△AOM≌△CNO，
∴不能判断AM=CN，
∴不能确定|k₁|=|k₂|，故③错误；
若OABC是菱形，则OA=OC，
而OM=ON，
∴Rt△AOM≌Rt△CNO，
∴AM=CN，
∴|k₁|=|k₂|，
∴k₁=-k₂，
∴两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称，故④正确．
故答案为：①④．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数的图象、反比例函数k的几何意义、平行四边形的性质、矩形的性质和菱形的性质．