Question

如图，抛物线y=x²-4x+3与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于点C．在此抛物线上是否存在一点P，使直线OP与抛物线只有点P这个公共点？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：可设出直线OP的解析式为y=kx，联立直线和抛物线的解析式消去y，根据直线与抛物线只有一个交点可求得k的值，可求得交点P的坐标．

解答：解：
∵直线OP过原点，
∴可设直线OP的解析式为y=kx，
联立两函数解析式可得

y=x2-4x+3 y=kx

，
消去y整理可得x²-（4+k）x+3=0，
∵直线OP与抛物线只有一个公共点，
∴方程x²-（4+k）x+3=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即（4+k）²-4×3=0，解得k=±2

3

-4，
当k=2

3

-4时，x²-（4+k）x+3=0的根为x₁=x₂=

3

，此时y=kx=（2

3

-4）×

3

=6-4

3

，即P点坐标为（

3

，6-4

3

）；
当k=-2

3

-4时，x²-（4+k）x+3=0的根为x₁=x₂=-

3

，此时y=kx=（2

3

-4）×（-

3

）=4

3

-6，即P点坐标为（

3

，4

3

-6）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为P点坐标为（

3

，6-4

3

）或（

3

，4

3

-6）．

点评：本题主要考查函数图象的交点问题，求出直线OP的解析式是解题的关键，注意分类讨论．