题目内容
4．
如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（-2，0）、（0，4）．动点P从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C以每秒2个单位的速度在y轴上从点B出发运动到点O停止，点C停止运动时点P也随之停止运动．以CP、CO为邻边构造平行四边形PCOD，在线段OP的延长线长取点E，使得PE=2．设点P的运动时间为t秒．（1）求证：①四边形ADEC是平行四边形；②并求当平行四边形ADEC为矩形时，t的值．
（2）以线段PE为对角线作正方形MPNE，点M、N分别在第一、四象限．设平行四边形PCOD的面积为S．
①当点M、N中有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值；
②若点M、N中恰好只有一点落在四边形ADEC的内部（不包括边界）时，直接写出S的取值范围．
分析 （1）①连接CD交OP于点G，由?PCOD的对角线互相平分，得四边形ADEC是平行四边形；
②由?PCOD的对角线相等，得平行四边形ADEC为矩形；
（2）①第一种情况，当点M在CE边上时，由△EMF∽△ECO，再利用正方形对角线相等求解；第二种情况，当点N在DE边上时，由△EFN∽△EPD，再利用正方形对角线相等求解；
②当$\frac{2}{3}$≤t≤1时，求出S的取值范围．
解答 （1）①证明：连接CD交OP于点G，
在?PCOD中，CG=DG，OG=PG，
∵AO=2，PE=2，
∴AO=PE，
∴AG=EG，
∴四边形ADEC是平行四边形；
②解：当AE=CD时，平行四边形ADEC为矩形；
∵AO=2，OP=t，PE=2，则AE=4+t，
又∵BC=2t，
∴OC=4-2t，
∵OG=$\frac{1}{2}t$，
∴CG2=（4-2t）2+（$\frac{1}{2}$t）2，
∴CD2=4[（4-2t）2+（$\frac{1}{2}$t）2]，
AE2=（4+t）2，
平行四边形ADEC为矩形，则（4+t）2=4[（4-2t）2+（$\frac{1}{2}$t）2]，
解得：t=$\frac{9+\sqrt{33}}{4}$或t=$\frac{9-\sqrt{33}}{4}$，
∵OB=4，
∴0≤t≤2，
∴t=$\frac{9-\sqrt{33}}{4}$；
（2）解：①当M点在CE上时，第一种情况：如图，当点M在CE边上时，
∵MF∥OC，
∴△EMF∽△ECO，
∴$\frac{MF}{CO}=\frac{EF}{EO}$，
∵四边形MPNE为正方形，
∴MF=EF，
∴CO=EO，即4-2t=t+2，
∴t=$\frac{2}{3}$；
第二种情况：当点N在DE边时，
∵NF∥PD，
∴△EFN∽△EPD，
∴$\frac{FN}{PD}$=$\frac{FE}{PE}$，
∵四边形MPNE为正方形，
∴NF=EF，
∴PD=PE，即4-2t=2，
∴t=1；
∴当点M、N中有一点落在四边形ADEC的边上时，所有满足条件的t的值为t=$\frac{2}{3}$或t=1；
②解：∵$\frac{2}{3}$≤t≤1，
S=（4-2t）t=-2t2+4t=-2（t-1）2+2，
∴点M、N中恰好只有一点落在四边形ADEC的内部（不包括边界）时，
$\frac{16}{9}＜S＜2$．
点评 本题主要考查了平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，正方形的判定定理，综合运用四边形的判定和性质，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．
阅读快车系列答案①两条直线被第三条直线所截，同位角相等
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
③两个无理数的积一定是无理数
④-$\sqrt{8}$＞$\root{3}{-27}$．
| A． | 1个 | B． | 2个 | C． | 3个 | D． | 4个 |
| A． | M（-2，3） | B． | M（-2，-3） | C． | M（2，3） | D． | M（2，-3） |
| A． | 5 | B． | 5$\sqrt{5}$ | C． | 8 | D． | 10$\sqrt{5}$ |
