已知.抛物线y=ax2+bx+4.B(8.0)两点.与y轴交于点C．(1)求此抛物线的解析式,(2)如图1.点E是线段OB上一动点.过点E作DE⊥x轴.交抛物线于点D.若直线CD与以OE为直径的⊙M相切.试求出点E的坐标,(3)如图2.在抛物线上是否存在一点P.过点P作x轴的垂线.垂足为F.过点F作FG∥BC.交线段AC于点G.连接FC.使△BCF∽△CFG?若存在.求出点P的坐标,� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．已知，抛物线y=ax²+bx+4（a≠0）与x轴交于A（-2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图1，点E是线段OB上一动点，过点E作DE⊥x轴，交抛物线于点D，若直线CD与以OE为直径的⊙M相切，试求出点E的坐标；
（3）如图2，在抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，垂足为F，过点F作FG∥BC，交线段AC于点G，连接FC，使△BCF∽△CFG？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）把A，B的坐标代入抛物线的解析式，即可得到关于a，b的方程组，求的a，b的值，则抛物线的解析式即可求解；
（2）连接MC、MD，证明△COM∽△MED，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解；
（3）首先设F的坐标为（c，0），求得BC与CF的长，由平行线分线段成比例定理，求得FG的长，然后由相似三角形对应边成比例，即可得FC²=BC•FG，则可得到关于c的一元二次方程，解方程即可求得答案．

解答解：（1）由已知有：$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+4=0}\\{64a+8b+4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．
故抛物线的解析式是：y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4；

（2）令D（x，y），（x＞0，y＞0），
则E（x，0），M（$\frac{1}{2}$x，0），由（1）知C（0，4）如图1，连接MC、MD，
∵DE、CD与⊙O相切，
∴∠OCM=∠MCD，∠CDM=∠EDM，
∴∠CMD=90°，
∴△COM∽△MED，
∴$\frac{CO}{ME}$=$\frac{OM}{ED}$，
∴$\frac{4}{\frac{x}{2}}$=$\frac{\frac{x}{2}}{y}$，
又∵D点在抛物线上，满足解析式y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4，
∴x=$\frac{12±4\sqrt{29}}{5}$，
又∵x＞0，
∴x=$\frac{12+4\sqrt{29}}{5}$，
则E点的坐标是：（$\frac{12+4\sqrt{29}}{5}$，0）．

（3）存在．
∵BC=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
设F（c，0），
∵FG∥BC，
∴$\frac{FG}{BC}$=$\frac{AF}{AB}$，
即$\frac{FG}{4\sqrt{5}}$=$\frac{c+2}{10}$，
∴FG=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（c+2），CF=$\sqrt{{c}^{2}+{4}^{2}}$，
要使△BCF∽△CFG，
需$\frac{CF}{BC}$=$\frac{FG}{FC}$，即FC²=BC•FG，
可得：16+c²=4$\sqrt{5}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（c+2），
解得：c=0或c=8（与B重合舍去）．
则F（0，0），
当x=0时，y=-$\frac{1}{4}$×0²+$\frac{3}{2}$×0+4=4．
故存在点P的坐标为（0，4）．