Question

17．如图，正方形ABCD的边长为5，AG=CH=4，BG=DH=3，连接GH，则线段GH的长为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{8}{5}$
• D． 5-$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 延长BG交CH于点E，根据正方形的性质证明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE=BE-BG=2、HE=CH-CE=2、∠HEG=90°，由勾股定理可得GH的长．

解答 解：如图，延长BG交CH于点E，
在△ABG和△CDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{AG=GH}\\{BG=DH}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△CDH（SSS），
AG²+BG²=AB²，
∴∠1=∠5，∠2=∠6，∠AGB=∠CHD=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠5+∠6=90°，
又∵∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°，
∴∠1=∠3=∠5，∠2=∠4=∠6，
在△ABG和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}\\{AB=BC}\\{∠2=∠4}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△BCE（ASA），
∴BE=AG=4，CE=BG=3，∠BEC=∠AGB=90°，
∴GE=BE-BG=4-3=1，
同理可得HE=1，
在RT△GHE中，GH=$\sqrt{G{E}^{2}+E{H}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
故选：A．

点评 本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出△GHE为等腰直角三角形是解题的关键．