Question

16．如图，已知AD是三角形ABC的中线，BE⊥AD，CF⊥AD交AD的延长线于点F．
（1）求证：BE=CF；
（2）若三角形ABD为等边三角形，边长为4，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）由已知条件得到BD=CD，即可证明△BDE≌△CDF，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题；
（2）根据等边三角形的性质得到∠EDB=60°，由AD是三角形ABC的中线，得到BD=CD=AD=4，根据等腰三角形的性质得到∠CAD=∠ACD=∠EDB=30°，解直角三角形即可得到结论．

解答 （1）证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BED=∠CFD=90°}\\{∠BDE=∠CDF}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴BE=CF；

（2）解：∵△ABD为等边三角形，边长为4，
∴∠EDB=60°，
∵AD是三角形ABC的中线，
∴BD=CD=AD=4，
∴∠CAD=∠ACD=∠DBE=30°，
在直角三角形BDE中，BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BD=2$\sqrt{3}$，
由（1）得BE=CF=2$\sqrt{3}$，
在直角三角形AFC中，AC=2CF=4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BDE≌△CDF是解题的关键．