Question

3．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=m（m＞0）．P为边BC上一动点（不与B、C重合），过P点作PE⊥AP交直线CD于E．
（1）求证：△ABP∽△PCE；
（2）当P为BC中点时，E恰好为CD的中点，求m的值；
（3）若m=12，DE=1，求BP的长．

Answer 1

分析 （1）根据∠B=90°，PE⊥AP，即可得到∠BAP=∠CPE，再根据∠B=∠C=90°，即可得出△ABP∽△PCE；
（2）当P为BC中点时，E恰好为CD的中点时，BP=CP=$\frac{1}{2}$m，CE=2，根据△ABP∽△PCE，可得$\frac{BP}{CE}$=$\frac{AB}{PC}$，进而得到$\frac{\frac{1}{2}m}{2}$=$\frac{4}{\frac{1}{2}m}$，据此可得m的值为$4\sqrt{2}$；
（3）设BP的长为x，根据△ABP∽△PCE，可得$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CE}$，再分两种情况进行讨论：当点E在线段CD上时，CE=2，当点E在CD的延长线上时，CE=5，分别求得BP的长．

解答 解：（1）∵矩形ABCD中，∠B=90°，PE⊥AP，
∴∠BAP+∠APB=90°，∠CPE+∠APB=90°，
∴∠BAP=∠CPE，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△PCE；
 
（2）当P为BC中点时，E恰好为CD的中点时，BP=CP=$\frac{1}{2}$m，CE=2，
∵△ABP∽△PCE，
∴$\frac{BP}{CE}$=$\frac{AB}{PC}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}m}{2}$=$\frac{4}{\frac{1}{2}m}$，
解得m₁=4$\sqrt{2}$，m₂=-4$\sqrt{2}$（舍去），
∴m的值为$4\sqrt{2}$；

（3）设BP的长为x，
∵△ABP∽△PCE，
∴$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CE}$，
当点E在线段CD上时，CE=2，
∴$\frac{4}{12-x}=\frac{x}{3}$
解得x₁=$6+2\sqrt{6}$，x₂=$6-2\sqrt{6}$；
当点E在CD的延长线上时，CE=5，
∴$\frac{4}{12-x}=\frac{x}{5}$，
解得x₃=2，x₄=10，
∴BP的长为$6+2\sqrt{6}$，$6-2\sqrt{6}$，2，10．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质的运用，解题时注意分类思想的运用．解决问题的关键是掌握：有两组角对应相等的两个三角形相似．