Question

11．如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C，经测量，花卉世界D位于点A的北偏东45°方向，点B的北偏东30°方向上，AB=2km，∠DAC=15°．
（1）求B、D之间的距离；
（2）求C、D之间的距离．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质，方向角的定义以及三角形外角的性质求出∠ADB=15°，再根据等角对等边，证得BD=AB即可求解；
（2）过B作BO⊥DC，交其延长线于点O，解Rt△DBO，求出DO，再解Rt△CBO，求出CO，那么CD=DO-CO．

解答 解：（1）如图，由题意得，∠EAD=45°，∠FBD=30°，
∴∠EAC=∠EAD+∠DAC=45°+15°=60°．
∵AE∥BF∥CD，
∴∠FBC=∠EAC=60°．
∵∠FBD=30°，
∴∠DBC=∠FBC-∠FBD=30°．
又∵∠DBC=∠DAB+∠ADB，
∴∠ADB=15°，
∴∠DAB=∠ADB，
∴BD=AB=2km．
即B、D之间的距离为2km；

（2）过B作BO⊥DC，交其延长线于点O，
∵在Rt△DBO中，BD=2，∠DBO=60°，
∴DO=2×sin60°=$\sqrt{3}$，BO=2×cos60°=1．
∵在Rt△CBO中，∠CBO=30°，CO=BOtan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴CD=DO-CO=$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（km）．
即C，D之间的距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$km．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，平行线的性质，等腰三角形的判定，解直角三角形，三角函数的定义．理解方向角的意义，把一般三角形通过作高线转化为直角三角形是解决本题的关键．