Question

已知：如图，以△ABC的顶点A为圆心，r为半径的圆与边BC交于D、E两点，且AC²=CE•CB．
（1）求证：r²=BD•CE；
（2）设以BD、CE为两直角边的直角三角形的外接圆的面积为S，若BD、CE的长是关于x的方程x²-mx+3m-5=0的两个实数根，求S=时的r的值．

Answer 1

（1）证明：如图，连接AD，AE，
∵AC²=CE•CB．
∴△ACE∽△BCA，
∴∠EAC=∠B，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠ADB=AEC，
∴△AEC∽△BDA，
∴AD•AE=BD•CE，
∴r²=BD•CE，

（2）解：∵以BD、CE为两直角边的直角三角形的外接圆的面积为S，
∴S=（）²•π，
∵S=，
∴（）²•π=，即BD²+CE²=2，
∵BD、CE的长是关于x的方程x²-mx+3m-5=0的两个实数根，
∴BD•CE=3m-5，BD+CE=m，
∴BD²+CE²=（BD+CE）²-2BD•CE=m²-2（3m-5）=2，
整理得：m²-6m+8=0，解得：m=2，m=4，
当m=4时，原方程则无解，应舍去．
m=2．
∴BD•CE=1
∵r²=BD•CE，
∴r=1．
分析：连接AD，AE，（1）根据已知条件可以推出△ACE∽△BCA，得∠EAC=∠B，既而推出△AEC∽△BDA，即可推出结论，（2）根题意，S=（）²•π=，因为BD•CE=3m-5，BD+CE=m，代入方程，解方程得m的值，既而求r的值．
点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的外接圆与外心的性质、解一元二次方程、根与系数的关系等性质定理的综合运用，解题的关键在于找到形似三角形，求出以BD、CE为两直角边的直角三角形的外接圆的半径的表达式．