题目内容
20．数学活动课上，小颖同学用两块完全一样的透明等腰直角三角板ABC、DEF进行探究活动．操作：使点D落在线段AB的中点处并使DF过点C（如图1），然后将其绕点D顺时针旋转，直至点E落在AC的延长线上时结束操作，在此过程中，线段DE与AC或其延长线交于点K，线段BC与DF相交于点G（如图2，3）．
探究1：在图2中，求证：△ADK∽△BGD．
探究2：在图2中，求证：KD平分∠AKG．
探究3：①在图3中，KD仍平分∠AKG吗？若平分，请加以证明；若不平分，请说明理由．
②在以上操作过程中，若设AC=BC=8，KG=3，求△DKG的面积．
分析 探究1，根据△ABC、△DEF是等腰直角三角形可知∠KAD=∠KDG=∠DBG=45°，由三角形内角和定理可知∠KDA+∠BDG=135°．∠BDG+∠BGD=135°，故可得出△ADK∽△BGD；
探究2，根据△ADK∽△BGD可知$\frac{AK}{BD}=\frac{KD}{BD}$，再由点D是线段AB的中点得出BD=AD，故可得出△ADK∽△DCK，∠AKD=∠DKC，由此可得出结论；
探究3，①同探究1可得△ADK∽△BGD，同探究2可得，△ADK∽△DGK，故可得出结论；
②过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥KG于点N，由①知线段KD平分∠AKG，故DM=DN．再由AC=BC=8，点D是线段AB的中点，∠KAD=45°，可知DM=DN=4．根据三角形的面积公式即可得出结论．
解答 解：探究1，
∵∠KAD=∠KDG=∠DBG=45°，
∴∠KDA+∠BDG=135°．
∵∠BDG+∠BGD=135°，
∴∠KDA=∠BGD，
∴△ADK∽△BGD；
探究2，∵△ADK∽△BGD，
∴$\frac{AK}{BD}$=$\frac{KD}{DG}$，
∵点D是线段AB的中点，
∴BD=AD，
∴$\frac{AK}{AD}$=$\frac{KD}{DG}$，
∴$\frac{AK}{KD}$=$\frac{AD}{DG}$，
∵∠KAD=∠KDG=45°，
∴△ADK∽△DCK，
∴∠AKD=∠DKC，
∴KD平分∠AKG；
探究3，①KD仍平分∠AKG．
理由如下：
∵同探究1可得△ADK∽△BGD，
同探究2可得，△ADK∽△DGK，
∴∠AKD=∠DKG，
∴KD仍平分∠AKG；
②如图，过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥KG于点N，
由①知线段KD平分∠AKG，
∴DM=DN．
∵AC=BC=8，点D是线段AB的中点，∠KAD=45°，
∴DM=DN=4．
∵KG=3，
∴S△DKG=$\frac{1}{2}$×4×3=6．
点评 本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识．难度适中．
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如图，在⊙O中，直径AB的长度为4a，3AC=CB，过点C作EF⊥AB，交⊙O于点E，F，则EF的长度为2$\sqrt{3}$a．
如图所示，在矩形ABCD中，F是DC上的一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE=3，AE=2$\sqrt{6}$，则MD的长是（ ）| A． | $\sqrt{15}$ | B． | $\frac{{\sqrt{15}}}{15}$ | C． | 1 | D． | $\frac{{\sqrt{15}}}{10}$ |