题目内容
15．如图（a），∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°（1）求证：AD∥CE
（2）如图（b），AG、CG分别平分∠BAD、∠BCE，BF∥AG交GC的延长线于F，判断∠ABC与∠F的数量关系，并证明；
（3）如图（c），AN平分∠HAB，BP平分∠ABC，BQ∥AN，CM平分∠BCT交BQ的反向延长线于M，①$\frac{∠QBP}{∠ABC}$的值不变，②$\frac{∠QMC}{∠ABC}$的值不变；其中只有一个结论正确，请择一证明．
分析 （1）先过B作BF∥AD，则∠DAB+∠ABF=180°，根据∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°，求得∠FBC+∠BCE=360°-180°=180°，即可得出AD∥CE；
（2）先过点G作GH∥AD，则GH∥AD∥CE，根据AG、CG分别平分∠BAD、∠BCE，以及∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°，求得∠AGC+$\frac{1}{2}$∠ABC=180°，再根据AG∥BF，求得∠F+∠AGC=180°，即可得到∠ABC=2∠F；
（3）先根据AN平分∠HAB，BP平分∠ABC，BQ∥AN，CM平分∠BCT，得到∠QBP=∠MCB，再根据∠QBC是△BCM的外角，得到∠QBC=∠M+∠MCB，进而得到∠M=$\frac{1}{2}$∠ABC，即$\frac{∠QMC}{∠ABC}$的值为$\frac{1}{2}$．
解答 
解：（1）过B作BF∥AD，则∠DAB+∠ABF=180°，
∵∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°，
∴∠FBC+∠BCE=360°-180°=180°，
∴BF∥CE，
∴AD∥CE；
（2）∠ABC=2∠F
证明：过点G作GH∥AD，则GH∥AD∥CE，
∴∠DAG=∠AGH，∠HGC=∠GCE，
∵AG、CG分别平分∠BAD、∠BCE，
∴∠AGC=$\frac{1}{2}$（∠DAB+∠BCE），
∵∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°，
∴$\frac{1}{2}$（∠DAB+∠ABC+∠BCE）=180°，
即∠AGC+$\frac{1}{2}$∠ABC=180°，
∵AG∥BF，
∴∠F+∠AGC=180°，
∴∠ABC=2∠F；
（3）②$\frac{∠QMC}{∠ABC}$的值不变．
证明：由上面结论可得，∠ABC=∠HAB+∠TCB，
又∵AN平分∠HAB，BP平分∠ABC，CM平分∠BCT，
∴∠ABP=∠NAB+∠MCB，
∵BQ∥AN，
∴∠NAB=∠ABQ，
∴∠QBP=$\frac{1}{2}$∠ABP=$\frac{1}{2}$∠CBP=$\frac{1}{2}$∠BCT=∠MCB，
∵∠QBC是△BCM的外角，
∴∠QBC=∠M+∠MCB，
∴∠M=∠QBC-∠MCB=∠QBC-∠QBP=∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，
即$\frac{∠QMC}{∠ABC}$的值为$\frac{1}{2}$．
点评 本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形外角的性质的综合应用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
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