Question

3．$\frac{{3}^{2000}+1}{{3}^{2001}+1}$与$\frac{{3}^{2001}+1}{{3}^{2002}+1}$的大小关系是$\frac{{3}^{2000}+1}{{3}^{2001}+1}$＞$\frac{{3}^{2001}+1}{{3}^{2002}+1}$（填“＜”“＞”或“=”）

Answer 1

分析 令a=3²⁰⁰⁰＞0，可得P=$\frac{a+1}{3a+1}$，Q=$\frac{3a+1}{9a+1}$，作差法可得P-Q=$\frac{a+1}{3a+1}$-$\frac{3a+1}{9a+1}$=$\frac{4a}{（3a+1）（9a+1）}$＞0，可得答案．

解答 解：令a=3²⁰⁰⁰＞0，
则P=$\frac{a+1}{3a+1}$，Q=$\frac{3a+1}{9a+1}$，
∵P-Q=$\frac{a+1}{3a+1}$-$\frac{3a+1}{9a+1}$
=$\frac{（a+1）（9a+1）-（3a+1）^{2}}{（3a+1）（9a+1）}$
=$\frac{4a}{（3a+1）（9a+1）}$＞0，
∴P＞Q，
即$\frac{{3}^{2000}+1}{{3}^{2001}+1}$＞$\frac{{3}^{2001}+1}{{3}^{2002}+1}$，
故答案为：＞．

点评 本题考查有理数的大小比较．掌握比较大小常用的方法：求比值法、求差法是解题的关键．