Question

15．已知关于x的方程a²x²+（2a-1）x+1=0有两个实数根x₁，x₂．
（1）当a为何值时，x₁≠x₂；
（2）是否存在实数a，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式结合二次项系数非0即可得出关于a的一元二次不等式，解不等式即可得出a的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x₁+x₂=-$\frac{2a-1}{{a}^{2}}$，结合方程的两个实数根互为相反数即可得出关于a的分式方程，解方程经检验后即可得出a值，结合（1）的结论即可得出不存在a的值使方程的两个实数根x₁与x₂互为相反数．

解答 解：（1）∵方程a²x²+（2a-1）x+1=0有两个实数根x₁，x₂，且x₁≠x₂，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}≠0}\\{△=（2a-1）^{2}-4{a}^{2}＞0}\end{array}\right.$，
解得：a＜$\frac{1}{4}$且a≠0，
∴当a＜$\frac{1}{4}$且a≠0时，方程有两个不相等的实数根．
（2）不存在，理由如下：
∵方程的两个实数根x₁，x₂互为相反数，
∴x₁+x₂=-$\frac{2a-1}{{a}^{2}}$=0，
解得：a=$\frac{1}{2}$，
经检验，a=$\frac{1}{2}$是方程-$\frac{2a-1}{{a}^{2}}$=0的根．
由①知：a≤$\frac{1}{4}$且a≠0时，方程才有两个实数根，
∵$\frac{1}{2}$＞$\frac{1}{4}$，
∴不存在a的值使方程的两个实数根x₁与x₂互为相反数．

点评 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，根据方程解的个数结合根的判别式以及二次项系数非0得出关于a的不等式组是解题的关键．