Question

13．如图，在?ABCD中，AB=4，∠A=120°，DE平分∠ADC交BC于点E，则△CDE的周长为（　　）

• A． 4$\sqrt{3}$+8
• B． 4$\sqrt{3}$+4
• C． 2$\sqrt{3}$+8
• D． 2$\sqrt{3}$+4

Answer 1

分析 由四边形ABCD是平行四边形，可得CD=AB=4，∠A=∠C=120°，AD∥BC，得∠ADE=∠DEC，∠DCF=60°又由DE平分∠ADC，可得∠CDE=∠DEC，根据等角对等边，可得EC=CD=4，根据30°角的直角三角形的性质求得CF=2，然后根据勾股定理求得DF，进而得出ED=4$\sqrt{3}$，所以求得△CDE的周长为4$\sqrt{3}$+8．

解答 解：作DF⊥BC，交BC的延长线于F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠A=∠C=120°，AB=CD=4，
∴∠ADE=∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠CDE=∠DEC，
∴EC=CD，
∴∠DEC=∠EDC=30°，
∴∠DCF=60°，
∴∠CDF=30°，
∴CF=$\frac{1}{2}$CD=2，
∴DF=$\sqrt{C{D}^{2}-C{F}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴DE=2DF=4$\sqrt{3}$，
∴△CDE的周长为4$\sqrt{3}$+8．
故选：A．

点评 此题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定定理、勾股定理以及30°角的直角三角形的性质．注意当有平行线和角平分线出现时，会出现等腰三角形．