Question

3．（1）如图（1），点C的坐标为（3，y）．使△ABC的周长最短．求y的值．
（2）如图（2）．在x轴上有一点C，在y轴上有一点D．使AD+CD+BC值最小．求直线CD的解析式及点C、D坐标．

Answer 1

分析 作出点A关于直线x=3的对称点A′，连接A′B交直线x=3与点C，先求得BA′的解析式，然后将x=3代入直线BA′的解析式，从而可求得y的值；

解答 解：（1）作A关于x=3的对称点A′，连接A′B交直线x=3与点C．

∵点A与点A′关于x=3对称，
∴AC=A′C．
∴AC+BC=A′C+BC．
当点B、C、A′在同一条直线上时，A′C+BC有最小值，即△ABC的周长有最小值．
∵点A与点A′关于x=3对称，
∴点A′的坐标为（6，3）．
设直线BA′的解析式y=kx+b，将点B和点A′的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{6k+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．
∴y=$\frac{3}{4}x-\frac{3}{2}$．
将x=3代入函数的解析式得y=$\frac{3}{4}$．
∴y的值为$\frac{3}{4}$；

（2）作A关于y轴的对称点A′（-1，3），B关于x轴的对称点B′（3，-1），
易知直线A′B′的解析式为y=-x+2，直线交x轴于C，交y轴于D，此时AD+CD+BC值最小，
易知C（2，0），D（0，2）．

点评 本题主要考查的是轴对称路径最短、一次函数，明确当点B、C、A′在同一条直线上时，A′C+BC有最小值是解题的关键．