Question

如图，AB是⊙O的直径，AD、BC和CD分别与⊙O相切于点A、B和E，DA=3.6，CB=6.4，
（1）判断CO与OD是否垂直？
（2）求⊙O的半径和图中阴影部分的面积（精确到0.01）．

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算

专题：

分析：根据切线长定理得出OD平分∠ADE，OC平分∠BCE，从而求得∠1=∠2，∠3=∠4，然后即可得出∠2+∠3=90°，从而证得CO⊥OD；
（2）由∠A=∠B=90°，利用切线的性质得到AD与BC都与圆O相切，再由CD与圆相切，利用切线长定理得到AD=DE，CE=CB，可得出CD=DE+CE=AD+BC，

解答：解：（1）连接OE，如图1，
∵AD、BC和CD分别与⊙O相切于点A、B和E，
∴OA⊥AD，OB⊥BC，OE⊥DC，∠ADO=∠EDO，∠BCO=∠ECO，
∴∠1=2，∠3=∠4，
∴∠2+∠3=90°，
即∠DOC=90°，
∴CO⊥DO；
（2）∵AB为⊙O的直径，OA⊥AD，OB⊥BC，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是直角梯形，
∴AD、BC均为⊙O的切线，
又CD与⊙O相切于点E，
∴DE=DA，CE=CB，
∴CD=AD+BC=10，
如图2，过D作DF⊥BC，则AD=BF=3.6，AB=DF，
∴CF=6.4-3.6=2.8，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF²+FC²=CD²，
∴DF=

CD2-CF2

=

102-2．82

≈9.60．
∴AB=9.60，
∴⊙O的半径为4.80，
∴S_阴影=S_梯形-S_半圆=

1

2

×10×9.60-

π×4.802

2

=48-36.17=11.83．

点评：此题考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，以及半圆的面积，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．