Question

【题目】如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1，0)和点B(3，0)．P为该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．

（1）求抛物线的解析式．

（2）将该抛物线沿y轴向下平移AB个单位长度，点P的对应点为P′，若OP=OP′，求△OP P′的面积．

（3）如图2，连接AP，BP，设△APB的面积为S，当-2≤m≤2时，直接写出S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）S的最大值为5

【解析】

（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）先根据A,B的坐标求出AB的长度，进而可求出抛物线平移的距离，根据OP=OP′可得出x轴是PP′的垂直平分线，从而可知P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出相应的横坐标，最后利用面积公式即可求解；

（3）设点P的纵坐标为y，根据题意得，然后分两种情况，当点P在x轴上方时和点P在x轴下方时，分别求出y的最大值，进而分别求出S的最大值，最终即可确定答案．

解：（1）将代入中，得

解得

∴则该抛物线的解析式为；

(2)∵，

∴AB=4，

，

∴抛物线是向下平移了2个单位长度， PP′=2．

∵OP=OP′

∴x轴是PP′的垂直平分线，

∴点P的纵坐标为1．

当y=1时，，

解得 ，

∴ 或，

∴△O PP′的面积为或；

(3)S的最大值为5，理由如下：

将抛物线转换成顶点式，得．

设点P的纵坐标为y，

由题意得，

当点P在x轴上方时，m=1时，取最大值，

∵当时，，

∴S的最大值为；

当点P在x轴下方时，时，取最大值，

∵当时， ，

∴S的最大值为；

∴当 时，S的最大值为5．