Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，连接BD，点E在AB上，连接CE交BD于点F，作FG⊥BC于点G，∠BEC＝3∠BCE，BF＝DF，若FG＝，则AB的长为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

连接AC交BD于M，设BF＝5a，根据菱形的性质及∠BEC＝3∠BCE得到CF平分∠ACB，根据勾股定理求出BF＝，BM＝2，证明Rt△FMC≌Rt△FGC得到CG＝CM，利用勾股定理求出BG，设CG＝CM＝x，则BC＝x+1，再利用勾股定理求出x即可得到答案.

解：连接AC交BD于M，如图所示：

设BF＝5a，则DF＝11a，

∴BD＝16a，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，∠ACB＝∠ACD，AB＝BC，AB∥CD，BM＝DM＝BD＝8a，

∴FM＝BM﹣BF＝3a，

∵AB∥CD，

∴∠BEC＝∠ECD，

∵∠BEC＝3∠BCE，

∴∠ECD＝3∠BCE，

∴∠ACE＝∠BCE，

∴CF平分∠ACB，

∵FG⊥BC，FM⊥AC，

∴FG＝FM＝，

∴3a＝，

∴a＝，

∴BF＝，BM＝2，

在Rt△FMC和Rt△FGC中，，

∴Rt△FMC≌Rt△FGC（HL），

∴CG＝CM，

在Rt△BFG中，BG＝＝1，

设CG＝CM＝x，则BC＝x+1，

在Rt△BMC中，由勾股定理得：22+x2＝（x+1）2，

解得：x＝，

∴AB＝BC＝．