Question

16．问题：如图（1），点F、E分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BF、EF、DE之间的数量关系．
（1）【发现证明】
如图1，小聪把△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，从而发现EF=BF+ED．请完成下列填空．
解：由旋转可得：AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°．
因此，点G，B，F在同一条直线上．∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°∵∠1=∠2∴∠1+∠3=45°，即∠GAF=∠EAF．
又AG=AE，AF=AF∴△GAF≌△EAF∴GF=EF，故DE+BF=EF
（2）【类比延伸】
如图（2），四边形ABCD中，∠BAD=90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点F、E分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD关系时，仍有EF=BF+DE．
（3）【探究应用】
如图（3），在某公园的同一水平面上，通道AB、AC、BC、AN、AM构成了等腰Rt△ABC，已知∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=$\sqrt{5}$米，CN=3$\sqrt{2}$米，求通道MN的长．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的判定定理证明△GAF≌△EAF，根据全等三角形的性质解答即可；
（2）把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证明△AFE≌△AGE即可；
（3）把△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接NG，根据勾股定理得到NG²=NC²+CG²，由（1）得△ANM≌△ANG，得到NG=NM，代入已知数据计算即可．

解答 解：（1）由旋转可得：AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上，
∵∠EAF=45°，
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°，即∠GAF=∠EAF，
又AG=AE，AF=AF，
∴△GAF≌△EAF，
∴GF=EF，故DE+BF=EF；
（2）当∠EAF与∠BAD满足∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD关系时，仍有EF=BF+DE．
如图2，∵AB=AD，
∴把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
∴∠BAF=∠DAG，
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠EAF=∠EAG，
∵∠ADC+∠B=180°，
∴∠EDG=180°，点E、D、G共线，
在△AFE和△AGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AG}\\{∠FAE=∠GAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△AGE，
∴GE=EF，即EF=BF+DE；
（3）如图3，把△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接NG，
则∠ACG=∠ABM，
∴∠NCG=90°，
∴NG²=NC²+CG²，
由（1）得△ANM≌△ANG，
∴NG=NM，又CG=BM，
∴NM²=NC²+BM²=（$\sqrt{5}$）²+（3$\sqrt{2}$）²=23，
∴通道MN的长为$\sqrt{23}$．

点评 本题考查的是全等三角形的判定和性质、折叠的性质、勾股定理的应用，掌握翻转变换的性质、灵活运用勾股定理是解题的关键．