Question

15．如图，⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为4，有一内角为60°的菱形，当菱形的一边在直线l上，另有两边所在的直线恰好与⊙O相切，此时菱形的边长为4$\sqrt{3}$或$\frac{4\sqrt{3}}{3}$或$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 考虑菱形与另有两边所在的直线相切，分三种情况进行讨论，添加相应辅助线计算即可．

解答 解：第一种情况：
过点O作直线l的垂线，交AD于E，交BC于F，作AG直线l于G，
由题意得，EF=2+4=6，
∵四边形AGFE为矩形，
∴AG=EF=6，
在Rt△ABG中，AB=$\frac{AG}{sin∠B}$=$\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4$\sqrt{3}$．
第二种情况：
过O点作OE⊥l于E点，过D点作DF⊥l于F点，则
OE=4，DF=2，DC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$DF=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
第三种情况：
过O点作EF垂直于BA延长线于E点，交CD于F点，过A点作AG⊥CD于G
则AG=EF=4，AD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$AG=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$
故答案为：4$\sqrt{3}$或$\frac{4\sqrt{3}}{3}$或$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查的是切线的性质和菱形的性质，根据题意正确画出图形、灵活运用解直角三角形的知识是解题的关键．