Question

15．如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l₁，l₂，l₃上，且l₁，l₂之间的距离为1，l₂，l₃之间的距离为2，则AC的长是$\sqrt{26}$．

Answer 1

分析 作辅助线，构建平行线的距离，由已知得：FC=1+2=3，AE=2，根据AAS证明△AEB≌△BFC，得BE=FC=3，先由勾股定理求得AB=$\sqrt{13}$，所以BC=$\sqrt{13}$，则由勾股定理可以求得AC的长．

解答 解：分别过A、C作l₃的垂线AE、CF，垂足分别为E、F，交l₂于M，
∵l₂∥l₃，
∴CF⊥l₂，
∴∠CBF+∠BCF=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBF+∠ABE=90°，
∴∠BCF=∠ABE，
∵AB=BC，∠AEB=∠BFC=90°，
∴△AEB≌△BFC，
∴BE=FC，
∵l₁，l₂之间的距离为1，l₂，l₃之间的距离为2，
∴FC=1+2=3，AE=2，
∴BE=FC=3，
由勾股定理得：AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴AB=BC=$\sqrt{13}$，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{13}）^{2}+（\sqrt{13}）^{2}}$=$\sqrt{26}$，
故答案为：$\sqrt{26}$

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，还考查了等腰直角三角形、平行线的距离，因为已知中两行线的距离为1和2，所以作三条平行线的垂线段，得到AE和CF的长，又多次运用了勾股定理求边长，从而得出结论．