Question

19．已知，坐标系中，A（0，1），B（0，-2），C（3，0）．
（1）在第二、四象限角平分线上找一点D，使||AD|-|BD||最大，求最大值，并通过作图写出点D的坐标；
（2）在第二、四象限角平分线上找一点E，使|AE|+|BE|最小，求最小值，并通过作图写出点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）求得点B（0，-2）关于第二、四象限角平分线的对称点B′的坐标为（2，0），连接B'A并延长交角平分线于点D，连接DB．此时BD=BD′，根据三角形三边关系即可证得||AD|-|BD||最大，最大值为AB′；
（2）连接AB，交关于第二、四象限角平分线于E，此时|AE|+|BE|最小，最小值为AB．

解答 解：（1）如图1，∵B（0，-2）关于第二、四象限角平分线的对称点B′的坐标为（2，0），连接B'A并延长交 角平分线于点D，连接DB．
此时||AD|-|BD||最大，最大值为AB′=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$；
由作图可知，D（-2，2）．
（2）如图2，连接AB，交关于第二、四象限角平分线于E，
此时|AE|+|BE|最小，最小值为AB=1+2=3．
由作图可知，E（0，0）．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题，作出D、E的位置是解题的关键．