Question

7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=30°，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线，交AB延长线于D，CD=6$\sqrt{3}$cm．

（1）求证：AC=CD；
（2）求AB的长；
（3）若动点M以3cm/s的速度从A出发沿AB方向运动，同时点N以1.5cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动的时间为t（0≤t≤2），连接△BMN，当t为何值时△BMN为直角三角形？

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OCA=∠A=30°，根据切线的性质得到∠OCD=90°，计算出∠D=30°，根据等腰三角形的判定定理证明即可；
（2）根据正切的概念求出OC的长，计算出AB的长；
（3）分∠MNB=90°和∠NMB=90°两种情况，根据相似三角形的判定定理和性质定理列出比例式，计算即可．

解答 （1）证明：如图1，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠COD=60°，
∵CD为⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
∴∠D=30°，
∴∠A=∠D，
∴AC=CD；
（2）解：∵∠OCD=90°，∠D=30°，CD=6$\sqrt{3}$cm，
∴OC=CD•tan∠D=6，
∴AB=12；
（3）解：如图2，∠MNB=90°时，
由题意得，AM=3t，BN=1.5t，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，又∠MNB=90°，
∴MN∥AC，
∴$\frac{BM}{BA}$=$\frac{BN}{BC}$，即$\frac{12-3t}{12}$=$\frac{1.5t}{6}$，
解得t=2s；
如图3，∠NMB=90°时，
△BNM∽△BAC，
∴$\frac{BM}{BC}$=$\frac{BN}{BA}$，即$\frac{12-3t}{6}$=$\frac{1.5t}{12}$，
解得t=3.2（舍去）．
∴当t=2s时，△BMN为直角三角形．

点评 本题考查的是切线的性质定理、直角三角形的性质、勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质定理，正确作出辅助线、灵活运用相关定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的正确应用．