Question

15．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=20°，点O是AB的中点，将OB绕点O顺时针旋转α角时（0°＜α＜180°），得到OP，当△ACP为等腰三角形时，α的值为40°或70°或100°．

Answer 1

分析 连结AP，如图，由旋转的性质得OP=OB，则可判断点P、C在以AB为直径的圆上，利用圆周角定理得∠BAP=$\frac{1}{2}$∠BOP=$\frac{1}{2}$α，∠ACP=∠ABP=90°-$\frac{1}{2}$α，∠APC=∠ABC=70°，然后分类讨论：当AP=AC时，∠APC=∠ACP，即90°-$\frac{1}{2}$α=70°；当PA=PC时，∠PAC=∠ACP，即$\frac{1}{2}$α+20°=90°-$\frac{1}{2}$α，；当CP=CA时，∠CAP=∠CAP，即$\frac{1}{2}$α+20°=70°，再分别解关于α的方程即可．

解答 解：连结AP，如图，
∵点O是AB的中点，
∴OA=OB，
∵OB绕点O顺时针旋转α角时（0°＜α＜180°），得到OP，
∴OP=OB，
∴点P在以AB为直径的圆上，
∴∠BAP=$\frac{1}{2}$∠BOP=$\frac{1}{2}$α，∠APC=∠ABC=70°，
∵∠ACB=90°，
∴点P、C在以AB为直径的圆上，
∴∠ACP=∠ABP=90°-$\frac{1}{2}$α，∠APC=∠ABC=70°，
当AP=AC时，∠APC=∠ACP，
即90°-$\frac{1}{2}$α=70°，解得α=40°；
当PA=PC时，∠PAC=∠ACP，
即$\frac{1}{2}$α+20°=90°-$\frac{1}{2}$α，解得α=70°；
当CP=CA时，∠CAP=∠CAP，
即$\frac{1}{2}$α+20°=70°，解得α=100°，
综上所述，α的值为40°或70°或100°．
故答案为40°或70°或100°．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是用α表示∠ACP和∠CAP，再运用分类讨论的思想和等腰三角形的性质建立关于α的方程．