题目内容
5．在数学小组学习活动中，同学们探究如下的题目．在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在BC的延长线上，且ED=EC，如题图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．
某小组思考讨论后，进行了如下解答：（请你帮助完成以下解答）
（1）特殊情况，探索结论：
当点E为AB的中点时，如图1，结论：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．
理由如下：（请你完成以下解答过程）
（2）特例启发，解答题目：
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题：
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长．
请直接写出答案：CD=3．
分析 （1）根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质得出∠D=∠BED=30°，根据等角对等边得出BE=BD，即可证得AE=DB；
（2）过点E作EF∥BC，先证得△AEF是等边三角形，进而证得∠DBE=∠EFC=120°，根据等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠D=∠CEF，从而证得△DBE和△EFC，得出AE=DB；
（3）过E点作EF⊥CD于F．根据等边三角形的性质和含30°的直角三角形的性质可求CF，再根据等腰三角形三线合一的性质可求CD的长．
解答 
解：（1）当点E为AB的中点时，如图1，结论：AE=DB，
理由：∵△ABC是等边三角形，点E为AB的中点，
∴∠BCE=30°，
∵ED=EC，
∴∠D=∠BCE=30°，
∵∠ABC=60°，
∴∠D=∠BED=30°，
∴BD=BE，
∵AE=BE，
∴AE=DB；
（2）题目中，AE与DB的大小关系是：AE=DB，
理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠BCE=∠CEF，
∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEF=∠AFE=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF，
∵DE=CE，
∴∠D=∠BCE，
∴∠D=∠CEF，
∵∠ABC=∠AFE=60°，
∴∠DBE=∠EFC=120°，
在△DBE和△EFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠CEF}\\{∠DBE=∠EFC}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△DBE和△EFC（AAS），
∴EF=DB，
∴AE=DB；
（3）解：如图3，过E点作EF⊥CD于F．
∵△ABC是等边三角形，△ABC的边长为1，AE=2，
∴BE=2-1=1，∠ABC=60°，
∴∠EBF=60°，
∴∠BEF=30°，
∴BF=0.5，
∴CF=0.5+1=1.5，
∵ED=EC，
∴CF=DF，
∴CD=1.5×2=3．
故答案为=；=；3．
点评 考查了等边三角形的性质和含30°的直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形求得的判定和性质，本题关键是熟练掌握性质定理．
如图，在△ABC的两边AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，取BE、BC、CG的中点M、Q、N．求证：MQ=QN．
如图所示：在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=$2\sqrt{3}$，BD=6，E、F分别是BC、AD的中点，则EF=（ ）| A． | $2\sqrt{3}$ | B． | $\sqrt{3}$ | C． | 6 | D． | $\frac{3}{2}\sqrt{3}$ |
如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．
如图，已知A（-1，0），B（9，0），以AB为直径的圆P交y轴负半轴于C，连接AC，BC，
已知∠ABC=90°，AB=BC，D为AC上的一点，分别过C点，A点作CE⊥BD于E点，AF⊥BD于F．若EC=5，EF=2，求AF的长．| A． | 不赚不赔 | B． | 赔了12元 | C． | 赔了18元 | D． | 赚了18元 |