Question

16．已知二次函数y=x²-（a-1）x+a-2，其中a是常数．
（1）求证：不论a为何值，该二次函数的图象与x轴一定有公共点；
（2）当a=4时，该二次函数的图象顶点为A，与x轴交于B，D两点，与y轴交于C点，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）利用根的判别式符号进行证明；
（2）由抛物线解析式求得点B、C、D的坐标，然后利用分割法来求四边形ABCD的面积．

解答 （1）证明：y=x²-（a-1）x+a-2．
因为[-（a-1）]²-4（a-2）=（a-3）²≥0．
所以，方程x²-（a-1）x+a-2=0有实数根．
所以，不论a为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；

（2）由题可知：当a=4时，y=x²-3x+2，
因为y=x²-3x+2=（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，所以A（$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{4}$），
当y=0时，x²-3x+2=0，解得x₁=1，x₂=2，所以B（1，0），D（2，0），
当x=0时，y=2，所以C（0，2），
所以S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BDC=$\frac{1}{8}$+1=$\frac{9}{8}$．

点评 本题考查了待定系数法，抛物线和坐标轴的交点、顶点坐标，四边形的面积的求法等，（2）利用分割法求四边形的面积是本题的关键．