Question

13．如图，将直线y=-x沿y轴向下平移后的直线恰好经过点A（2，-4），且与y轴交于点B，在x轴上存在一点P使得PA+PB的值最小，则点P的坐标为（$\frac{2}{3}$，0）．

Answer 1

分析 先作点B关于x轴对称的点B'，连接AB'，交x轴于P，则点P即为所求，根据待定系数法求得平移后的直线为y=-x-2，进而得到点B的坐标以及点B'的坐标，再根据待定系数法求得直线AB'的解析式，即可得到点P的坐标．

解答 解：如图所示，作点B关于x轴对称的点B'，连接AB'，交x轴于P，则点P即为所求，
设直线y=-x沿y轴向下平移后的直线解析式为y=-x+a，
把A（2，-4）代入可得，a=-2，
∴平移后的直线为y=-x-2，
令x=0，则y=-2，即B（0，-2）
∴B'（0，2），
设直线AB'的解析式为y=kx+b，
把A（2，-4），B'（0，2）代入可得，
$\left\{\begin{array}{l}{-4=2k+b}\\{2=b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AB'的解析式为y=-3x+2，
令y=0，则x=$\frac{2}{3}$，
∴P（$\frac{2}{3}$，0），
故答案为：（$\frac{2}{3}$，0）．

点评 本题属于最短路线问题，主要考查了一次函数图象与几何变换的运用，解决问题的关键是掌握：在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．