Question

3．直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=CD=2AD=2a，点E、F分别是BC、CD边的中点．连接BF、DE交于点P，连接CP并延长交AB于点Q，连接AF，则下列结论中正确的有①②（写出正确结论的序号）
①四边形ABED为平行四边形；
②CP平分∠BCD；
③四边形QPDA为等腰梯形；
④S_{四边形AQCD}=$\frac{5}{3}$a²．

Answer 1

分析 （1）利用平行四边形的判定中一组对边平行且相等得出即可；
（2）首先得出△BCF≌△DCE（SAS），进而得出△BPE≌△DPF，即可得出BP=DP，得出△BPC≌△DPC即可解决问题；
（3）先判断出CP≠CE，即可判断出QP≠BE，即可得出结论错误；
（4）先判断出△ECP≌△FCP，再用面积相等转化，得出四边形AQCD的面积等于平行四边形ABED的面积，即可．

解答 解：（1）∵BC=CD=2AD，E是BC边的中点，
∴AD=BE，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABED为平行四边形；故①正确，

（2）∵E、F分别是BC、CD边的中点，
∴EC=FC，
∴在△BCF和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=FC}\\{∠ECD=∠BCF}\\{BC=DC}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△DCE（SAS），
∴∠FBC=∠EDC，BF=ED，∠BPE=∠DPF，
∴△BPE≌△DPF（AAS），
∴BP=DP，PC=PC，BC=CB，
∴△BPC≌△DPC（SSS），
∴∠BCP=∠DCP，
∴CP平分∠BCD；故②正确
（3）∵CD=2CE，∠BCD=90°，
∴tan∠CED=2，
∴∠CED≠67.5°，
∵∠BCQ=45°，
∴∠CEP≠∠BCQ，
∴CP≠CE，
由（1）DE∥AB，CE=BE，
∴CP=QP≠BE，
∵AD=BE，
∴QP≠AD，
∴四边形QPDA不是等腰梯形，故③错误，
（4）∵△BCF≌△DCE，
∴S_△BCF=S_△DCE，
∵CE=CF，∠ECP=∠FCP，CP=CP，
∴△ECP≌△FCP，
∴S_△ECP=S_△FCP，
∴S_△BPC=S_△DPC，
∵CP=QP，
∴S_△BPQ=S_△BPC，
∴S_{四边形AQCD}=S_{平行四边形ABED}=BE×CD=2a²，故④错误．

点评 此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，面积的转化，根据已知得出△BPC≌△DPC是解题关键．