Question

1．阅读下面材料：
小明通过这样一个问题：如图（1），已知等腰三角形ABC，AB=AC．求作一个正方形，使得正方形的两个顶点在BC上，其余两个顶点分别在AB和AC上．
小明发现，以BC为边在△ABC的另一侧作正方形BCEF，连接AE交DC于点G，连接AF与BC交于点H，过H作BF的平行线交AB于点N，过G作CE的平行线交AC于点M，连接MN，易证$\frac{NH}{BF}=\frac{HG}{FE}=\frac{GM}{CE}$，经过进一步推理可以说明四边形GHNM是正方形，如图（2）．
（1）请回答：若AB=AC=5，∠BAC=90°，则正方形GHNM的面积为$\frac{50}{9}$；
（2）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图（3），已知△ABC，求作等边三角形DEF，使得点D、E、F分别在△ABC的三条边上．
要求：使用尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹．

Answer 1

分析 （1）易证△BHN和△CGM是等腰直角三角形，从而可证到BH=GH=CG，只需求出BC的值，就可解决问题；
（2）分别以点B、C为圆心，BC为半径画弧，在△ABC的另一侧交于点G，连接AG交BC于点D，作∠ADF=∠AGB，交AB于点F，作∠ADE=∠AGC，交AC于点E，连接EF，△DEF即为所求作．

解答 解：（1）如图（2），

∵AB=AC=5，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，BC=5$\sqrt{2}$．
∵四边形GHNM是正方形，
∴NH=HG=MG，∠NHG=∠HGM=90°，
∴∠BNH=∠CMG=45°，
∴∠ABC=∠ACB=∠BNH=∠CMG，
∴BH=NH，CG=MG，
∴BH=GH=CG，
∴BC=3GH=5$\sqrt{2}$，
∴GH=$\frac{5\sqrt{2}}{3}$，
∴正方形GHNM的面积为$\frac{50}{9}$．
故答案为$\frac{50}{9}$；

（2）如图3，

△DEF即为所求作．
注：不写结论要扣分．

点评 本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识，另外还考查了运用尺规作等边三角形和平行线，把作平行线转化为作一个角等于已知角是解决第（2）小题的关键，需要注意的是作出图形后要下结论．