Question

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：∠CAO=∠BCO；
（3）若点P是抛物线上的一点，且∠PCB+∠ACB=∠BCO，求直线CP的表达式．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为为y=a（x-1）（x-4），将点C的坐标代可求得a的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）先证明$\frac{OA}{CO}=\frac{OC}{OB}$，从而可证明△AOC∽△COB，由相似三角形的性质可证得∠CAO=∠BCO；
（3）先证明∠PCB=∠CBO，如图2所示可得到CD=BD，然后由勾股定理可求得OD的长，从而得到点D的坐标，由点C和点D的坐标可求得PC的解析式，如图3所示当∠PCB=∠CBO时，PC∥OB，从而可得到PC的解析式．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-4）．
∵将C（0，2）代入得：4a=2，解得a=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-1）（x-4），即y=$\frac{1}{2}$x²$-\frac{5}{2}$x+2．
（2）如图1所示：连接AC．

∵由题意可知；OA=1，OC=2，OB=4，
∴$\frac{OA}{OC}=\frac{OC}{OB}=\frac{1}{2}$．
又∵∠COA=∠BOC，
∴△AOC∽△COB．
∴∠CAO=∠BCO．
（3）①如图2所示：

∵∠PCB+∠ACB=∠BCO，∠ACO+∠ACB=∠BCO，
∴∠PCB=∠ACO．
∵△AOC∽△COB，
∴∠ACO=∠CBO．
∴∠PCB=∠CBO．
∴CD=BD．
设OD=x，则DB=CD=4-x．
在Rt△DCO中，由勾股定理得：OD²+CO²=DC²，即x²+2²=（4-x）²．解得：x=1.5．
∴点D的坐标为（1.5，0）．
设直线CP的解析式为y=kx+b．
∵将（0，2），D（1.5，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{1.5k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线CP的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+2．
如图3所示：

∵∠PCB+∠ACB=∠BCO，∠ACO+∠ACB=∠BCO，
∴∠PCB=∠ACO．
∵△AOC∽△COB，
∴∠ACO=∠CBO．
∴∠PCB=∠CBO．
∴CP∥OB．
∴CP的解析式为y=2．
综上所述，直线CP的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+2或y=2．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，证得DC=DB，然后依据勾股定理求得OD的长是解题的关键．