Question

4．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=4，∠B=60°，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将平行四边形ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGC，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则△CEF的面积$\frac{7\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 如图1，作CK⊥AB于K，过E点作EP⊥BC于P．想办法求出CK、EP、EC，再证明△BCE≌△GCF（ASA）推出CE=CF，根据三角形的面积公式计算即可．

解答 解：如图1，作CK⊥AB于K，过E点作EP⊥BC于P．
∵∠B=60°，
∴CK=BC•sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2 $\sqrt{3}$，
∵C到AB的距离和E到CD的距离都是平行线AB、CD间的距离，
∴点E到CD的距离是2 $\sqrt{3}$，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠D=∠B，∠A=∠BCD，
由折叠可知，AD=CG，∠D=∠G，∠A=∠ECG，
∴BC=GC，∠B=∠G，∠BCD=∠ECG，
∴∠BCE=∠GCF，
在△BCE和△GCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠G}\\{∠BCE=∠GCF}\\{BC=GC}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△GCF（ASA）；
∴CE=CF，
∵∠B=60°，∠EPB=90°，
∴∠BEP=30°，
∴BE=2BP，
设BP=m，则BE=2m，
∴EP=BE•sin60°=2m×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$m，
由折叠可知，AE=CE，
∵AB=6，
∴AE=CE=6-2m，
∵BC=4，
∴PC=4-m，
在Rt△ECP中，由勾股定理得（4-m）²+（ $\sqrt{3}$-m）²=（6-2m）²，解得m=$\frac{5}{4}$，
∴EC=6-2m=6-2×$\frac{5}{4}$=$\frac{7}{2}$，
∴CF=EC=$\frac{7}{2}$，
∴S_△CEF=$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{2}$×2 $\sqrt{3}$=$\frac{7\sqrt{3}}{2}$，
故答案为$\frac{7\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题是四边形综合题，考查了解直角三角形，平行四边形的性质，折叠的性质勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，三角形面积等，熟练掌握性质定理是解题的关键．