题目内容
【题目】如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO，CO分别在x轴，y轴上，A点的坐标为（﹣8，6），点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，P点坐标为_____．
【答案】
或
.
【解析】
由题意得出P点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上；
①当P点在AC的垂直平分线上时，点P同时在BC上，AC的垂直平分线与BO的交点即是E，证出PE∥CO，则△PBE∽△CBO，由已知得出点P横坐标为﹣4，OC＝6，BO＝8，BE＝4，由相似对应边成比例得出PE＝3即可得出结果；
②P点在以点C为圆心AC为半径的圆弧上，圆弧与BC的交点为P，过点P作PE⊥BO于E，证出PE∥CO，则△PBE∽△CBO，由已知得出AC＝BO＝8，CP＝8，AB＝OC＝6，由勾股定理得出BC＝
＝10，则BP＝2，由相似对应边成比例得出PE＝
，BE＝
，则OE＝
即可得出结果．
解：∵点P在矩形ABOC的内部，且△APC是等腰三角形，
∴P点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上；
①当P点在AC的垂直平分线上时，点P同时在BC上，AC的垂直平分线与BO的交点即是E，如图1所示：
∵PE⊥BO，CO⊥BO，
∴PE∥CO，
∴△PBE∽△CBO，
∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为（﹣8，6），
∴点P横坐标为﹣4，OC＝6，BO＝8，BE＝4，
∵△PBE∽△CBO，
∴
＝
，即
＝
，
解得：PE＝3，
∴点P（﹣4，3）；
②P点在以点C为圆心AC为半径的圆弧上，圆弧与BC的交点为P，
过点P作PE⊥BO于E，如图2所示：
∵CO⊥BO，
∴PE∥CO，
∴△PBE∽△CBO，
∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为（﹣8，6），
∴AC＝BO＝8，CP＝8，AB＝OC＝6，
∴BC＝＝
＝10，
∴BP＝2，
∵△PBE∽△CBO，
∴＝＝
，即：＝
＝
，
解得：PE＝，BE＝，
∴OE＝8﹣＝，
∴点P（﹣，）；
综上所述：点P的坐标为：（﹣，）或（﹣4，3）；
故答案为（﹣，）或（﹣4，3）．
