题目内容

如图，四边形AOBC是矩形，点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（4，0），动点P，Q同时从点O出发，P沿折线OACB的方向运动，Q沿折线OBCA的方向运动．
（1）若P的运动速度是Q的3倍，点P运动到AC边上，连接PQ交OC于点R，且OR=2，求直线PQ的函数关系式；
（2）若P的运动速度是每秒 $数学公式$ 个单位长度，Q的运动速度是 $数学公式$ 个单位长度，运动到相遇时停止，设△OPQ的面积为S，运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式．

解：（1）设OQ=a，则OA+AP=3a，
OC= $\text{[math]}$ =5，
∵AC∥OB，
∴△ORQ∽△CRP，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴PC= $\text{[math]}$ ，
∵OA+AC=7，即3a+ $\text{[math]}$ =7，
∴ $\text{[math]}$ ，
AP= $\text{[math]}$ ，
∴P点坐标（ $\text{[math]}$ ，3），Q点坐标（ $\text{[math]}$ ，0），
设直线PQ的函数关系式为y=kx+b，
∴ $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$
所以直线PQ的函数关系式是y=27x-42；

（2）当0 $\text{[math]}$ 时，点P在OA上，点Q在OB上，
S= $\text{[math]}$ ×OQ×OP= $\text{[math]}$ ，
当 $\text{[math]}$ 时，点P在AC上，点Q在OB上，
S= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ，
当5 $\text{[math]}$ 时，点P、Q都在BC上，
S= $\text{[math]}$ =28- $\text{[math]}$ ．
分析：（1）设OQ=a，则OA+AP=3a，利用勾股定理易求OC，又AC∥OB，利用平行线分线段成比例定理的推论，可得△ORQ∽△CRP，可得比例线段，从而求出PC= $\text{[math]}$ ，从而可知3a+ $\text{[math]}$ =7，可求a，那么就可得出P、Q的坐标，再利用待定系数法可求出函数解析式；
（2）分情况讨论，①当0 $\text{[math]}$ 时，点P在OA上，点Q在OB上，求三角形面积可得函数解析式；②当 $\text{[math]}$ 时，点P在AC上，点Q在OB上，求三角形面积可得函数解析式；③当5 $\text{[math]}$ 时，点P、Q都在BC上，求三角形面积可得函数解析式．
点评：本题考查了勾股定理、平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的判定和性质、待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式，难度适中．