Question

如图，四边形AOBC为直角梯形，OC=

5

，OB=5AC，OC所在的直线方程为y=2x，平行于OC的直线l为：y=2x+t，l由A点平移到B点时，l与直角梯形AOBC两边所围成的三角形的面积记为S．
（1）求点C的坐标；
（2）求t的取值范围；
（3）求出S与t之间的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）因为OC=

5

，OB=5AC，OC所在的直线方程为y=2x，所以可设点C坐标为（x，y），根据勾股定理可得x²+y²=5，再把y=2x代入，即可求出x的值，进而求出答案；
（2）因为平行于OC的直线l为：y=2x+t，l由A点平移到B点，由（1）求出OB的长，即求出了B的坐标，然后分别求出直线过点A（0，2），点B（5，0）时的值，就求出了t的最大值和最小值，从而求出t的范围；
（3）根据直线和OC的位置关系，需个情况讨论：
①当0≤t≤2时，求出l与y轴交于F（0，t），连接OC，利用l∥OC，得到相似三角形，即可找出面积间的关系S：（2×1÷2）=（2-t）²：2²，求出答案；
②当-10≤t≤0时，求出l与x轴交于E（-

t

2

，0），利用l∥OC，得到相似三角形，即可找出面积间的关系

S

1 2 ×5×2

=（

5+ t 2

5

）²，求出答案．

解答：解：（1）设点C坐标为（x，y），根据题意，得：
x²+y²=5，
又因OC所在的直线方程为y=2x，
∴（2x）²+x²=5，
∴x₁=1，x₂=-1（舍去），
∴C（1，2）；

（2）∵C（1，2），
∴OA=2，AC=1，OB=5AC=5，
∴B（5，0），
若y=2x+t过点A（0，2），则t=2，
若y=2x+t过点B（5，0），则t=-10，
∴-10≤t≤2；

（3）有两种情况：
①当0≤t≤2时，
l与y轴交于F（0，t），连接OC，
∵l∥OC，OF=t，AF=2-t，
∴S：（2×1÷2）=（2-t）²：2²，
∴S=

1

4

（2-t）²
②当-10≤t≤0时，
∵l与x轴交于E（-

t

2

，0），
∴OE=-

t

2

，BE=5+

t

2

，
∵l∥OC
∴

S

1 2 ×5×2

=（

5+ t 2

5

）²，
∴S=

1

5

（5+

1

2

t）²．

点评：本题需仔细分析题意，结合图象，利用平行线间的关系、勾股定理、分情况讨论即可解决问题．