Question

如图，四边形AOBC为直角梯形，OC=

5

，OB=5AC，OC所在的直线的函数解析式为y=2x，平行于OC的直线m的解析式为y=2x+t．直线m由A点平移到B点时，m与直角梯形AOBC两边所围成的三角形的面积记为S．
（1）求点C的坐标及t的取值范围；
（2）求S与t之间的函数关系式及当S=1.8时，t的值．

Answer 1

分析：（1）根据直线y=2x的解析式结合勾股定理即可求得点C的坐标，根据点A和点B的坐标即可求得t的取值范围；
（2）分两种情况考虑：当0≤t≤2时，直线与y轴的交点是（0，t），与AC的交点是（1-

t

2

，2），则S=

1

2

•（2-t）•（1-

t

2

）=

1

4

t²-t+1；当-10≤t≤0时，则直线与x轴的交点是（-

t

2

，0）．作DE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，则△BDE∽△BCF，则

DE

BE

=

CF

BF

=

1

2

，即设D（5-2a，a），则有a=2（5-2a）+t，a=2+

t

5

，则S=

1

2

•（5+

t

2

）（2+

t

5

）=

t2

20

+t+5．根据S的解析式进一步求得S=1.8时对应的t值．

解答：解：（1）设C（x，2x）（x＞0）．
根据勾股定理，得x²+（2x）²=5，
则x=1，
即C（1，2）．
所以A（0，2），B（5，0）．
当直线m过点A时，则t=2；
当直线m过点B时，则t=-10．
所以-10≤t≤2．

（2）当0≤t≤2时，直线与y轴的交点是（0，t），与AC的交点是（1-

t

2

，2），
则S=

1

2

•（2-t）•（1-

t

2

）=

1

4

t²-t+1，
此时若S=1.8，则

1

4

t²-t+1=1.8，解，得t=2±

6

5

5

，
又∵0≤t≤2，则t=2-

6

5

5

；
当-10≤t≤0时，则直线与x轴的交点是（-

t

2

，0）．
作DE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，则△BDE∽△BCF，则

DE

BE

=

CF

BF

=

1

2

，
即设D（5-2a，a），
则有a=2（5-2a）+t，
a=2+

t

5

，
则S=

1

2

•（5+

t

2

）（2+

t

5

）=

t2

20

+t+5．
此时若S=1.8，则

t2

20

+t+5=1.8，解得t=-2或-18，
又∵-10≤t≤0，则t=-2．

点评：此题运用了数形结合的思想，考查了直线和坐标轴的交点求解方法，能够分情况讨论解决问题．