Question

如图，在矩形ABCD中，EF垂直平分BD．
（1）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．
（2）已知BD=20，EF=15，求矩形ABCD的周长．

Answer 1

分析：（1）EF垂直平分BD，则OB=OD．根据AB∥CD可证△DOF≌△BOE，得OE=OF．所以BD、EF互相垂直平分，四边形BEDF是菱形．
（2）利用菱形面积的两种表示方法求AD的长；利用勾股定理求AE的长．根据周长公式计算求解．

解答：解：（1）四边形BEDF是菱形．
在△DOF和△BOE中，
∠FDO=∠EBO，OD=OB，∠DOF=∠BOE=90°，
所以△DOF≌△BOE，
所以OE=OF．
又因为EF⊥BD，OD=OB，
所以四边形BEDF为菱形．                            （5分）

（2）如图，在菱形EBFD中，BD=20，EF=15，
则DO=10，EO=7.5．
由勾股定理得DE=EB=BF=FD=12.5．
S_菱形EBFD=

1

2

EF•BD=BE•AD，
即

1

2

×20×15=

25

2

×AD
所以得AD=12．
根据勾股定理可得AE=3.5，有AB=AE+EB=16．
由2（AB+AD）=2（16+12）=56，
故矩形ABCD的周长为56．                            （10分）

点评：此题考查了菱形的判定方法以及利用菱形面积的两种表示方法计算线段的长度，综合性较强．
菱形的判别方法有三：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．