Question

14．如图，已知在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E、F，交边DC于点G，交边AB于点H．联结AF，CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）如果OF=2GO，求证：GO²=DG•GC．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得到AD∥BC，由平行线的性质得到∠EAC=∠ACF，推出△EOA≌△FOC，根据全等三角形的性质得到AE=CF，OE=OF，推出四边形AFCE是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到$\frac{EG}{DG}=\frac{CG}{GO}$，等量代换求得结论；

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC=∠ACF，
在△EOA和△FOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAC=∠ACF}\\{OA=OF}\\{∠AOE=∠COF}\end{array}\right.$，
∴△EOA≌△FOC，
∴AE=CF，OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）∵∠EDG=∠COG=90°，∠EGD=∠CGO，
∴△EGD∽△CGO，
∴$\frac{EG}{DG}=\frac{CG}{GO}$，
∵OF=2GO，
∴EG=GO，
∴GO²=DG•GC．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．