Question

4．（1）如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G，连结FG，延长AF、AG，与直线BC相交，易证：FG=$\frac{1}{2}$（AB+AC+BC），请写出证明过程．
（2）若BD、CE分别是△ABC的内角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G、连结FG，（如图2），写出线段FG与△ABC三边的数量关系．

Answer 1

分析 （1）首先通过△ABF≌△MBF，得到AB=BM，AF=DF，同理：AC=CN，AG=GN，再根据三角形的中位线定理即可得到结果；
（2）首先通过△ABF≌△MBF，得到AB=BM，AF=DF，同理：AC=CN，AG=GN，再根据三角形的中位线定理即可得到结果．

解答 （1）证明：延长AF交BC于M，延长AG交BC于N，
∵AF⊥BD，
∴∠AFB=∠MFB=90°，
∵BD平分∠ABM，
∴∠ABF=∠MBF，
在△ABF与△MBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFB=∠MFB}\\{BF=BF}\\{∠ABF=∠MBF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△MBF（ASA），
∴AB=BM，AF=BF，
同理：AC=CN，AG=GN，
∴FG=$\frac{1}{2}$MN=$\frac{1}{2}$（MB+BC+CN）=$\frac{1}{2}$（AB+AC+BC）；

（2）解：延长AF交BC于M，延长AG交BC于N，
∵AF⊥BD，
∴∠AFB=∠MFB=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABF=∠MBF，
在△ABF与△MBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFB=∠MFB}\\{BF=BF}\\{∠ABF=∠MBF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△MBF（ASA），
∴AB=BM，AF=BF，
同理：AC=CN，AG=GN，
∴FG=$\frac{1}{2}$MN=$\frac{1}{2}$（NB+BC+CM）=$\frac{1}{2}$（AC+CM）=$\frac{1}{2}$（AC+AB-BC）．

点评 本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．